画画。

办公室里安静了下来。

庞学林和望月新一都在仔细研究者佩雷尔曼的手稿。

佩雷尔曼自己，则优哉游哉地喝着咖啡。

他是一个很耐得住性子的人，就算没人跟他说话，他一个人坐着，也能待上一整天。

时间一分一秒过去，临近中午的时候，庞学林找来左亦秋，让她帮三人订三份外卖。

吃完饭，庞学林和望月新一继续研究佩雷尔曼的手稿。

庞学林按照佩雷尔曼的思路，试图将整个霍奇猜想的证明过程从头到尾推演一遍。

不知不觉间，到了下午三点多。

望月新一终于抬起头说道：“我感觉整体思路没什么问题，但细节推论，还需要进一步研究。”

佩雷尔曼不由得松了一口气，脸上露出笑容，将目光转向庞学林道：“庞教授，你怎么看？”

庞学林没有说话，沉吟片刻，出声道：“格里戈里，你过来一下。在手稿的第五页，引理3.3.4中：u是定义在黎曼流形M4中的区域Ω上无临界点的光滑函数。在区域Ω中u的最速下降线是水平集的正交曲线。换句话说，无临界点函数u的最速下降线就是在区域内切向量场▽u的积分曲线。这里你准备如何求解水平集和最速下降线曲率？”

佩雷尔曼沉思片刻，拿起笔，在稿纸上写道：

【设｛e1，e2｝是单位正交切标架，若e1是曲线的单位切向量，那么光滑曲线的测地曲率为k=〈De1ds，e2〉其中s是曲线的弧长参数。由｛e1，e2｝是单位正交切标架，测地曲率同样可以表示为k=〈De1ds，e2〉=-div（e2），这等价于说，光滑曲线的测地曲率是曲线的单位法向量的微分。】

庞学林淡淡一笑，对佩雷尔曼的解释不可置否，又翻到了第十页，指着上面的证明道：“那这里，在空间流形Mn中，u是定义在严格凸环U1U2上的调和函数，u连续到U2U1。若u满足u|?U1=1，u|?U2=0那么，就有|▽u|x＞0，?x∈U1U2，并且u的水平集严格凸。你在最后部分是如何给出极值原理的？”

佩雷尔曼继续解释：【Ω是Rn中有界连通区域，u∈C2(Ω)??C(Ω)，在Ω上考虑算子LLu=??????(??)????????+????(??)??????+??(??)??……】

“那这里呢？u是具有常截面曲率的黎曼流形Mn上的光滑函数，Rjkl和Rj分别是Mn上的黎曼曲率张量和里奇曲率……这个如何证明？”

【取1≤??，??，??，??，??≤??，1≤??≤??+1。取Mn中的正交标架场{???1，???2，……，?????，?????+1}，其中?????+1为外法向，则{???1，???2，……，???i}为切标架场，且???=?????+1，运动方程为……】

……

在一旁观看的望月新一有些奇怪，庞学林怎么老是在黎曼流形问题上打转，而且问的都是一些比较浅显的问题，有些引理或者定义，推导出来是非常显而易见的。

倒是佩雷尔曼并没有表现出多少不耐烦的神情，基本上庞学林问什么，他就解释什么。

时间一分一秒过去，不知不觉，又过了一个多小时。

庞学林终于图穷匕见：“你这里由一个紧致无边的n维流形M的同调群Hn（M，Z）=0，推出M是不可定向的，然后我们由定理4.6.7可知，所有偶数维的射影空间都是不可定向的，它们的定向二重覆盖空间是同维数的球面，那么我想问一下，定向二重覆盖为环面T^2的克莱因瓶，它的空间曲率是黎曼流形上的光滑函数吗？